論文版はてなブックマーク(その4)の話。

はじめに。

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ちょくちょく宣伝しているが、新型コロナウイルスの論文を使って、「研究者がどうやって未知のウイルスの正体を暴くのか?」について説明した文章を一般の人向けに書いたので興味のある方はどうぞ。
blog.sun-ek2.com

加えて、PCR検査の仕組みと、それに代わるかもしれないゲノム編集技術を応用した新しい検査方法に関する論文を一般向けに説明したので興味のある方はどうぞ。
blog.sun-ek2.com

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「論文版はてなブックマークとは何ぞや?」という話は、以前したので、以下の文章を参照のこと。
blog.sun-ek2.com


今回は、量子の世界の酔っぱらいの話が5本。





Quantum Walk on the Line

arxiv.org


著者・雑誌名。

Ashwin Nayak, Ashvin Vishwanath
arXiv, October 2000



内容。

量子ランダムウォークの一種であるHadamardウォークについて詳しく調べた論文。古典的なランダムウォークは、直線の原点に粒子があって、コイントスで表が出れば右、裏が出れば左に進み、その後、再びコイントスを行うという過程をずっと繰り返す。一方で、量子ランダムウォークの場合、コイントスの代わりにHadamard変換+shiftをひたすら繰り返す。


時刻t、地点nにおける波動関数を \displaystyle ψ\left(n, t\right)とすると、
 \displaystyle ψ\left(n, t+1\right)=\begin{pmatrix}0&0\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}ψ\left(n-1, t\right)+\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}\\0&0\end{pmatrix}ψ\left(n+1, t\right)
 \displaystyle =M_{+}ψ\left(n-1, t\right)+M_{-}ψ\left(n+1, t\right)


そこからフーリエ変換して式をいじくると、 \displaystyle =\tilde{ψ}\left(n, t\right)の漸化式を作ることができ、 \displaystyle =\tilde{ψ}\left(n, t\right)に作用している演算子を対角化すれば、 \displaystyle =\tilde{ψ}\left(n, t\right)の閉形式が得られる。その後、 \displaystyle =\tilde{ψ}\left(n, t\right)を逆フーリエ変換すれば、
 \displaystyle ψ_{L}\left(n, t\right)=\frac{1+\left(-1\right)^{n+t}}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk}{2\pi}\left(1+\frac{\cos{k}}{\sqrt{1+cos^{2}k}}\right)e^{-i\left(ω_kt+kn\right)}
 \displaystyle ψ_{R}\left(n, t\right)=\frac{1+\left(-1\right)^{n+t}}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk}{2\pi}\frac{e^{ik}}{\sqrt{1+cos^{2}k}}e^{-i\left(ω_kt+kn\right)}
となる。


確率分布は、
 \displaystyle P\left(α, t\right)\verb|~|\frac{1+(-1)^{\left(α+1\right)t}}{πt|ω^{"}_{k_α}|}\left\{\left(1-α\right)^{2}cos^{2}\left(φ\left(α\right)t+\frac{π}{4}\right)+\left(1-α\right)^{2}cos^{2}\left(φ\left(α\right)t+k_α+\frac{π}{4}\right) \right\}


tが大きくなるにつれて、つまり \displaystyle α=\frac{n}{t}が小さくなるにつれて、確率分布は一様分布に近づき、分布の幅は、tの1乗のオーダーで増加する。(古典ランダムウォークの場合、 \displaystyle α=\sqrt{t})ここら辺の数式の処理は、よく分からなかった。






Coined quantum walks on percolation graphs

arxiv.org


著者・掲載誌。

Godfrey Leung, Paul Knott, Joe Bailey, Viv Kendon
arXiv, October 2010



内容。

欠損がある一次元、二次元の格子上での量子ランダムウォークの振る舞いを調べた論文。一次元の場合、欠損位置が固定されたstatic gapsと欠損位置がstep毎に変動するdynamic gapsの2条件で調べている。二次元の場合、edgeをなくす欠損の仕方(bond)と、nodeをなくす欠損の仕方(site)の2条件で調べている。


まずは、一次元の話。欠損がない場合のcoin operatorは、Hadamard演算子であるが、欠損がある場所では、以下のようなcoin operatorを使う。
 \displaystyle C_2^{\left(η\right)}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&\sqrt{3}\\\sqrt{3}&-1\end{pmatrix}


xとx+1の間のedgeが欠損していて、ランダムウォークを2回、行った場合、
 \displaystyle \left\{SC_2^{\left(η\right)}\right\}^{2}|+1, x\verb|>|=\sqrt{η\left(1-η\right)}|-1, x\verb|>|+η|+1, x+2\verb|>|


ηだけ量子トンネリングすることが分かる。


edgeの欠損割合が多くなるにつれて、量子ランダムウォークの確率分布の広がりが \displaystyle ∝tから \displaystyle ∝\sqrt{t}(古典ランダムウォーク)になる。また、edgeの非欠損割合をpとしたとき、量子ランダムウォークが格子欠損によって、古典的になるまでに要する時間は、 \displaystyle ∝\frac{1}{1-p}となる。


次は、二次元の格子での量子ランダムウォーク。coin operatorは、Groverの拡散演算子。
 \displaystyle C_4^{\left(Grov\right)}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&1&1\\1&1&-1&1\\1&1&1&-1\end{pmatrix}


現在地から見て、上に欠損がある場合のcoin operatorは、
 \displaystyle C_4^{\left(U\right)}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&2&2&0\\2&-1&2&0\\2&2&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}


現在地から見て、上と左に欠損がある場合のcoin operatorは、
 \displaystyle C_4^{\left(LU\right)}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}
(まだ式の意味が腑に落ちていない…)


初期値によって結果が大きく変わる。一番、確率分布の幅が広くなるのが
 \displaystyle |ψ_{max}\verb|>|=\frac{1}{2}\left(|L, 0\verb|>|+|R, 0\verb|>|+|U, 0\verb|>|+|D, 0\verb|>|\right)


狭くなるのが
 \displaystyle |ψ_{min}\verb|>|=\frac{1}{2}\left(-|L, 0\verb|>|-|R, 0\verb|>|+|U, 0\verb|>|+|D, 0\verb|>|\right)
よく分からんが、対称性が何やら大切らしい。


 \displaystyle |ψ_{max}\verb|>| \displaystyle |ψ_{min}\verb|>|に加えて、それぞれのケットの符号をランダムで決めた
 \displaystyle |ψ_{ran}\verb|>|=\frac{1}{2}\left(±|L, 0\verb|>|±|R, 0\verb|>|±|U, 0\verb|>|±|D, 0\verb|>|\right)
についても調べている。


bondの欠損とsiteの欠損、2条件でそれぞれ量子ランダムウォークを行うと、確率分布などの面では、あまり差が見られないが、欠損があまり見られない格子において、その標準偏差には大きな違いがみられる。(bondの方がsiteよりも標準偏差が大きい)


また、格子欠損している二次元の量子ランダムウォークの確率分布は、 \displaystyle ∝t^{a}となる。非欠損割合pが0.7~0.9ぐらいであれば、古典ランダムウォークと同様に \displaystyle ∝t^{\frac{1}{2}}。0.95を超えたあたりから一気にaが1に近づく(量子効果が表れてくる)。






Quantum Walk on a Line with Two Entangled Particles

arxiv.org


著者・雑誌名。

Y. Omar, N. Paunkovic, L. Sheridan, S. Bose
arXiv, November 2004



内容。

量子もつれ状態にある2粒子を使った一次元の量子ランダムウォークの振る舞いを調べた論文。coin operatorは、Hadamard演算子。
初期状態は、3通り。
粒子の入れ替えに対称な状態ケット(ボソン)。
 \displaystyle |ψ^{+}_0\verb|>|_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{|0, ↓\verb|>|_{1}\otimes|0, ↑\verb|>|_{2}+|0, ↑\verb|>|_{1}\otimes|0, ↓\verb|>|_{2}\right\}


粒子の入れ替えに反対称な状態ケット(フェルミオン)。
 \displaystyle |ψ^{-}_0\verb|>|_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{|0, ↓\verb|>|_{1}\otimes|0, ↑\verb|>|_{2}-|0, ↑\verb|>|_{1}\otimes|0, ↓\verb|>|_{2}\right\}


粒子の入れ替えに非対称な状態ケット(古典粒子。粒子は量子もつれ状態ではない)。
 \displaystyle |ψ^{S}_0\verb|>|_{12}=|0, ↓\verb|>|_{1}\otimes|0, ↑\verb|>|_{2}


量子ランダムウォークの1ステップに対応するユニタリ演算子を \displaystyle \hat{U}_{12}|とすると、Nステップ後の状態ケットは、
 \displaystyle |ψ^{±}_N\verb|>|_{12}=\hat{U}^{N}_{12}|ψ^{±}_0\verb|>|_{12}
 \displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\hat{U}^{N}|0, ↓\verb|>|_{1}\otimes\hat{U}^{N}|0, ↑\verb|>|_{2}±\hat{U}^{N}|0, ↑\verb|>|_{1}\otimes\hat{U}^{N}|0, ↓\verb|>|_{2}\right\}


上記の3つの状態ケットにユニタリ変換を作用させ、量子ランダムウォークを行った後の確率分布は、論文のfig. 2のようになる。(コピペして、ここに貼ったら、著作権とか引っ掛かりそうなので、気になる方は論文へ)


初期状態が粒子の入れ替えに対称な状態ケット(ボソン)の場合、粒子1と粒子2がともに一次元格子の右端に行く確率、左端に行く確率、粒子1が左端に行って、粒子2が右端に行く確率、その逆が起きる確率はだいたい同じになる(ボソン)。
 \displaystyle |ψ^{+}_0\verb|>|_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{|0, ↓\verb|>|_{1}\otimes|0, ↑\verb|>|_{2}+|0, ↑\verb|>|_{1}\otimes|0, ↓\verb|>|_{2}\right\}


初期状態が粒子の入れ替えに対称な状態ケット(フェルミオン)の場合、粒子1が左端に行って、粒子2が右端に行く確率、その逆が起きる確率はだいたい同じになる。しかしボソンの時とは違い、粒子1と粒子2が同じ場所に存在する確率は極めて低い。


初期状態が粒子の入れ替えに非対称な状態ケット(古典)の場合、粒子1が左端に行って、粒子2が右端に行く確率が高い。


量子ランダムウォーク後の2粒子間の距離の期待値を調べると、フェルミオン>古典粒子>ボソンという関係になっていた。また、2粒子の距離の相関を取ってみると、フェルミオンは負の相関(2粒子が同じ場所に集まりにくい)、ボソンは正の相関(2粒子が同じ場所に集まりやすい)、古典粒子の相関は0(2粒子は完全にランダムな分布を取る)であった。






Two-walker discrete-time quantum walks on the line with percolation

www.nature.com


著者。掲載誌。

L. Rigovacca, C. Di Franco
Scientific Reports, February 2016



内容。

欠損がある一次元格子での相互作用がない2粒子の量子ランダムウォークの振る舞いに関する論文。欠損の仕方は、2本目の論文と同様にdynamic gapsとstatic gapsの2種類ある。


2つの古典粒子を欠損がない一次元格子上で量子ランダムウォークさせると、2つの粒子が右、もしくは左で一緒に測定される確率、一方が右、他方が左、またその逆で測定される確率、この4つの確率がおおよそ同じになる。一方で2つの古典粒子を欠損がある一次元格子上でランダムウォークさせると、二つの粒子がともに同じ場所で測定される確率が高まる。また、dynamic gapsがあると、格子の端以外でも2つの粒子が一緒に測定される確率が高まる。一方で、static gapsの場合、原点付近で粒子が観測される確率が高い。論文では、2粒子の量子ランダムウォークの確率分布と2粒子を別々に量子ランダムウォークさせて、それら確率分布を掛け合わせたものを比較していた。その図を見ると、欠損ありの一次元格子上で、2粒子を量子ランダムウォークさせると、粒子が集積することがよく分かる。


元々、ボソンは2粒子が同じ場所(格子の両端)で観測される確率が高いが、dynamics gapsを加えると、格子の両端以外で2粒子が同じ場所で観測される確率が上がる。フェルミオンの場合、粒子が両端以外で観測される確率は上がるが、古典粒子、ボソンとは違い、同じ場所ではほとんど観測されない。


そして、格子欠陥が多くなるにつれて、2粒子間の距離が小さくなり、2粒子が同じ場所で観測される確率、原点で2粒子がともに観測される確率が上がる。しかし、減少の仕方、増加の仕方は、dynamic gapsとstatic gapsで違う。


最後に量子ランダムウォークに使う粒子の数を1個から2個に増やした時の利点を調べていた。直感的に考えると、粒子の数を増やすことによって、確率分布の幅が広がる、仮に量子ランダムウォークを何かしらのパラメータ探索に使えば、より広い空間を探索できると思われるが、結果的には、粒子の数が1個であろうと2個であろうと、確率分布の幅は広がらない。


しかし、ある格子の欠損度合を調べたいのであれば、2粒子の量子ランダムウォークの方が1粒子よりも優れている。ここでは、量子ランダムウォークを行った後に、格子の原点で粒子が観測される確率を元にして、格子の欠損度合を推定する手法を提案している。もちろん、量子測定によって、原点における粒子の存在確率を推定するのだから、量子ランダムウォーク+量子測定は、何回も何回も行わないといけない。試行回数が十分でないと、確率は正しく推定できない。この論文では、3割以上欠損している格子の欠損度合を調べる際に2つの粒子を用いて、量子ランダムウォークを行った方が少ない試行回数で、要求される精度を保った確率推定ができるということを示していた。






Noisy quantum walks of two indistinguishable interacting particles

arxiv.org


著者・掲載誌。

Ilaria Siloi, Claudia Benedetti, Enrico Piccinini, Jyrki Piilo, Sabrina Maniscalco, Matteo G. A. Paris, Paolo Bordone
arXiv, March 2017



内容。

4番目の論文と同様。ノイズがある一次元格子での2粒子の量子ランダムウォークの振る舞いに関する論文。違うところは、2粒子間に相互作用があるということと、今まで離散的な量子ランダムウォークを取り扱っていたが、ここでは連続的な量子ランダムウォークを取り扱っている。ノイズは、遷移行列の係数に加えている。


連続的な量子ランダムウォークのユニタリ変換は、
 \displaystyle H_{2r}\left(t\right)=H_{1r}\left(t\right)\otimes I+I \otimes H_{1r}\left(t\right)+H_{int}
 \displaystyle H_{1r}\left(t\right)=H_{1}+J\sum_{j}g_{j}\left(t\right)\left(|j\verb|>|\verb|<|j+1|+|j+1\verb|>|\verb|<|j|\right)


 \displaystyle H_{1r}が遷移行列で、 \displaystyle g_{j}\left(t\right)がノイズ。ノイズはランダムで入るが、その期待値は時間とともに自己相関が指数的に減衰するようにする。ξは、時定数のようなもの。ξをJで割ったγが今後出てくる。
 \displaystyle C\left(t\right)=\verb|<|g_{j}\left(t\right)g_{k}\left(0\right) \verb|>|_{g}=δ_{jk}g^{2}_0e^{-2ξt}


時間発展の演算子は、シュレディンガー方程式を解けば出てくる。こんな感じ。
 \displaystyle Λ\left(t\right)=Τexp\left(-i\int^{t}_{0}H_{2r}\left(s\right)ds\right)
Τは、時間順序積。場の量子論の本とか見れば、お目にかかれる。


初期状態は、混合状態で表される。この式には、±が含まれるが、論文ではこの後、フェルミオンしか調べないので、ここではマイナス。
 \displaystyle ψ_{0}^{±}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|j, k\verb|>|±|k, j\verb|>|\right)


時間発展したときの混合状態の期待値はこんな感じ。
 \displaystyle ρ\left(t\right)=\verb|<|Λ\left(t\right)ρ_0Λ^{†}\left(t\right)\verb|>|_g


最初は、ノイズがない状態での連続的な量子ランダムウォークのエネルギーバンド構造について調べている。粒子間に相互作用があると、main bandの上にmini bandが出現する。量子ランダムウォークの初期状態を先ほどのユニタリ変換のエネルギー固有値に対応する固有ベクトル上に写像すると、初期状態のエネルギーを測定したときに、ある固有エネルギーを持った状態が得られる確率が求まる。それをグラフにしたのが、fig. 2。(コピペして、ここに貼ったら、著作権とか引っ掛かりそうなので、気になる方は論文へ)フェルミオンが隣り合わせだと、相互作用が大きくなるにつれて、mini bandに対応する確率が大きくなる。一方で、フェルミオンを離しておいた場合、相互作用が大きくなると、main bandに対応する確率が大きくなる(mini bandがmain bandに埋まっている。Scattering band)。


次は、ノイズがある状態での量子ランダムウォーク。フェルミオンのペアは、隣り合わせで置かれている。ノイズがないと、格子の両端でフェルミオンが観測される確率が高く、γが高いノイズを加えると、ノイズがないときと同じくらいの確率分布幅になるが、両端でフェルミオンが観測される確率は低く倣う。γが、低いノイズを加えると、ほぼ原点付近でしかフェルミオンは観測されない。γが小さくなるほど、確率分布の幅が小さくなる。


その後、隣り合わせに置いたフェルミオンにノイズを加え、相互作用を強めていった時に確率分布の幅がどうなるか調べている。γが高いノイズを加えると相互作用が高くなるにつれて、ノイズを一切加えていない状態に比べて、確率分布の幅が広がっていることが分かる。しかし、γが高すぎると、逆効果となる。相互作用が強くなるにつれて、適切なγの値は、大きくなる。一方で、フェルミオンを離した状態から開始すると、この効果は見られない。ノイズがエネルギーバンド構造を壊すことなく、main band、mini bandに対応する波動関数の成分を再分布してくれるので、ノイズがある方がフェルミオンは遠くまでランダムウォークするという結果が得られたのではないかと論文では推測しているが、特に定量的なことは言ってはいなかった。


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